Bibliographic Details
| Title: |
Ruelle operators with two complex parameters and applications. |
| Authors: |
Petkov, Vesselin1 petkov@math.u-bordeaux1.fr, Stoyanov, Luchezar2 luchezar.stoyanov@uwa.edu.au |
| Source: |
Comptes Rendus. Mathématique. Jul2015, Vol. 353 Issue 7, p595-599. 5p. |
| Subjects: |
Ruelle operators, Operator theory, Riemannian manifolds, Parameter estimation, Mathematical functions, Mathematical formulas |
| Abstract (English): |
For a C 2 weak-mixing Axiom-A flow ϕ t : M ⟶ M on a Riemannian manifold M and a basic set Λ for ϕ t , we consider the Ruelle transfer operator L f − s τ + z g , where f and g are real-valued Hölder functions on Λ, τ is the roof function and s , z are complex parameters. Under some assumptions about ϕ t for arbitrary Hölder f , g , we establish estimates for the iterations of this Ruelle operator when | Im z | ≤ B | Im s | ν for some constants B > 0 , 0 < ν < 1 ( ν = 1 for Lipschitz f , g ), in the spirit of the estimates for operators with one complex parameter (see [2,11,12] ). Applying these estimates, we obtain a non-zero analytic extension of the zeta function ζ ( s , z ) for P f − ϵ < Re ( s ) ≤ P f and | z | small enough with a simple pole at s = s ( z ) . Two other applications are considered as well: the first concerns the Hannay–Ozorio de Almeida sum formula, while the second deals with the asymptotic of the counting function π F ( T ) for weighted primitive periods of the flow ϕ t . [ABSTRACT FROM AUTHOR] |
| Abstract (French): |
Résumé Soit ϕ t : M ⟶ M un flot C 2 , faiblement mélangeant, sur une variété riemannienne M . Soit Λ un ensemble basique pour ϕ t . On considère l'opérateur de Ruelle de transfert L f − s τ + z g , où f et g sont des fonctions hölderiennes à valeurs réelles sur Λ, τ est la fonction roof et s , z sont des paramètres complexes. On suppose que ϕ t satisfait quelques conditions et, pour des fonctions f , g arbitraires, on prouve des estimations pour les itérations de cet opérateur de Ruelle quand | Im z | ≤ B | Im s | ν avec des constantes B > 0 , 0 < ν < 1 ( ν = 1 si f , g sont des fonctions lipschitziennes) qui sont analogues aux estimations des opérateurs avec un paramètre complexe (cf. [2,11,12] ). En appliquant ces estimations, on obtient un prolongement sans zéros de la fonction zêta ζ ( s , z ) pour P f − ϵ < Re ( s ) ≤ P f et | z | suffisamment petit avec un pôle simple en s = s ( z ) . Nous proposons aussi deux autres applications : la première concerne la formule de sommation de Hannay–Ozorio de Almeida, tandis que la seconde concerne l'asymptotique de la fonction de comptage π F ( T ) des périodes primitives du flot ϕ t calculées avec des poids. [ABSTRACT FROM AUTHOR] |
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